数学的起源发展与本质

​数学是我们了解宇宙的最有力的工具。但它是怎么起源的以及如何发展起来的，却至今仍是一个谜。

2017年去世的伊朗数学家玛丽亚姆·米尔扎克哈尼，是第一位获得数学领域最高奖——菲尔兹奖的女性。她形容研究数学 “就像是一个人迷失在丛林中，试图用你所学到的一切，去找到一条出路”。

她虽然只活了40岁，但应该说是一位幸运儿，比大多数人在“数学丛林”里都走得深，最后还摘取了数学上的桂冠。

越来越多的证据表明，人类似乎也是大自然的幸运儿，是唯一能穿越“数学丛林”的动物。但这种能力来自何方?为何会发展起来?发展起来是为了什么目的?……要回答这些问题，不仅涉及到神经科学的一些热门话题，还迫使我们不得不重新思考“什么是数学?”“数学是发现还是发明?”等有关数学本质的问题。

上篇 数学的起源

通过“建模”与世界打交道

大自然是一个复杂多变、险象环生的处所，栖息地的变化、掠食动物的袭击、食物的匮乏……一个有机体的生存取决于它感知周围环境的能力。但不管是野牛估量狮群的数量和块头，以便做出战斗/逃跑的决定;还是椋鸟在空中时刻与邻伴维持适当的距离，以便保持队形;或者羊群循着水草丰茂的路线觅食……所有这一切活动，按伦敦大学神经学家卡尔·菲力斯顿的说法，都意味着在做数学。

“因为数学有一种简单、节俭和对称的性质，如果你把它当作一种语言，会比其他描述世界的方法更胜一筹。从海豚到黏菌，几乎所有生命都能从数学上去理解这个世界，以便为自己的生存服务，” 他说。

现在不是有很多“建模”比赛吗?为一个复杂过程，建立一个相对简单的数学模型，然后输入参数，看看不同情况下的运行结果。那么，菲力斯顿的话其实意思就是：任何形式的生命都需要通过对其生存的环境进行“建模”，才能发挥作用。

菲力斯顿的这个看法可追溯到1970年代，当时控制论提出一项原则：为了提供有效的控制，一个机器人必须先对自己与环境的作用，建立一个数学模型，才能据此行动。此后的人工智能研究，差不多都遵循了这条原则。今天，人类能在人工智能领域取得这么大的成就，也要归功于这条原则。

既然机器人是通过“建模”与外部世界互动的，那么一个合理的推测是：生物在某种程度上也是通过“建模”跟世界打交道的。

举个例子。当一头野牛注意到一头狮子在逼近时，它就会本能地调动一个叫“逃跑/战斗”的决策机制，根据自己对狮子块头、距离远近以及对自己力量的估计，决定是逃跑还是战斗。这个决策机制，从功能上说，可看作是一个数学模型，输入“狮子块头”“距离”“自己的力量”等参数，输出“逃跑”或“战斗”的结果。任何一项参数改变，都可能导致输出结果不同。

发展出精确的数感为了纠正感官的偏差

既然是数学模型，当然就要对现实做些简化，不可能面面俱到。尤其对于生命来说，当危险临近时，迅速行动才是主要的，准确倒退居次要。譬如上述“逃跑/战斗”的模型中，考虑那三项因素大致就差不多了，至于“狮子毛色如何”，“天空会不会下雨”等因素，都可以不考虑。考虑因素太多，决策就慢下来，进而影响行动速度。

正是我们这种与世界打交道的方式，决定了我们的感官存在这样那样不尽人意的偏差。

以心理学上反映心理量和物理量之间关系的韦伯-费希纳定律为例。这条定律说：我们辨别两个感觉差别的能力，随感觉强度的增加而减弱。比如用手提重物，你很容易区分1千克和2千克，但要辨别21千克和22千克，就不那么容易了。对于亮度、音量等的辨别能力也同样如此。

让我们自豪的是，尽管人类和其他动物的感官都有着同样的偏差，但人类已经发展出识别和纠正偏差的能力。最明显的是，我们发明了数：这是一种符号系统，它让我们立即判断出(21与22)和(1与2)差距是一样的。

与生俱来的是“数觉”还是“量觉”?

那么，这种工具是怎么发展起来的呢?

长期以来，一种观点认为：我们天生就有一种对“数”的意识，就像我们天生就能意识到色彩一样。1997年，法国心理学家德阿纳提出一个假说，认为进化赋予人类和其他动物一种“数觉”，即立即觉察一堆物体数量的本能。譬如说，三颗红色的珠子会产生数“3”的感觉，正如它们能产生“红”的感觉。

支持这种本能观点的证据很多。麻省理工学院的心理学家发现，6个月大的婴儿已能在8个点和16个点的点阵之间做出区分。

还有研究显示，人类本能上具有在空间上通过虚构一条“数字线”，来表示数的倾向。比如说，我报给你一串数，请你在纸上记下。尽管我并没有吩咐你怎么去记，但你还是会按小的在左，大的在右的方式写下这些数，哪怕你是个左撇子也不例外。这是因为你在记数字时，会在纸面上不自觉地虚构一条“数字线”;在这条线上，数值从左到右要按从小到大的顺序排列。这是一种本能。

甚至有证据表明，数觉在动物中也存在(见拓展阅读“动物有数学本能吗?”)。

所以，按本能论的观点，我们天生具有“数觉”，随后以此作为“种子”，经过几千年文明的发扬光大，才有今天这么庞大复杂的数学体系。

但不久，一些研究者对这些证据提出怀疑。例如他们说，婴儿能把两列点阵区别开来，也许依靠的不是它们在数量上的差别，而是基于其他属性，比如点阵的空间位置分布或覆盖的面积等。这些线索涉及的是量，不是数;虽然量也跟数相关，但精确度上要差一些，不过因为比数更直观，似乎更有可能被婴儿利用。譬如两堆球，判断哪堆多哪堆少，总比说出每一堆的具体数目要更直观，也更容易一些。

由此，出现了一个不同的假说：我们与生俱来的不是“数觉”，而是“量觉”，即感知事物的量(如大小、强度等)的能力。

对儿童更精确的测试似乎也倾向于支持这种观点。例如，小于4岁的孩子不能理解5个橘子和5只西瓜有什么共同点——都是5。对他们而言，5只西瓜仅仅意味着比5个橘子在“量”上更多。

此外，即使教幼儿数数的动作，也不能立即传达数的意义，必须通过“量”的比较，他们才能掌握“数”的概念。这就怪不得幼儿园的老师教孩子数数，或者做加减运算，要辅以小木棍、小球之类的道具。

精确的数量感是文明发展的产物

如果我们接受后一种观点，那么，我们后来能产生精确的数量感，发明出数来精确地表示量，只能说是文明的产物了。

文化对数的认知影响之大，超乎我们的想象。以巴布亚新几内亚的Yupno人为例。他们的语言虽然并不原始，却连表示“一个比另一个大或小”的说法都没有。Yupno并不是唯一拥有不强调数的语言的人。一项对189种澳大利亚原住民语言的研究，发现其中四分之三的语言中没有表示大于3或4的数的词汇。

这暗示，今天我们大多数人所拥有的精确的数量感，是文明发展到一定度的产物，当诸如农业和贸易等需要时，它才会出现。

甚至在我们自己当中，对数的认知也深受职业、教育等这类文化因素的影响。2016年，研究人员对15名专业数学家和15名非数学家学者的大脑进行了扫描。他们发现了一个涉及数学思维的脑区;当数学家思考代数、几何和拓扑学问题时，这个脑区会被激活;但是当他们思考非数学问题时，这个脑区就不会活跃起来。而在其他学者中，不论思考数学问题还是非数学问题，这个脑区都不活跃。

这个结果表明，教育和职业所养成的习惯，已经深深改变了数学家们思考数学时的思维方式。文化的影响之巨，由此可见一斑。

文化是什么时候把我们曾经的模糊本能(“量觉”)塑造成能精确识别数的能力(“精确的数量感”)的呢?确切时间目前还不清楚。人类处理数的最早证据来自南非莱邦博山脉的博德山洞。在那里，考古学家们发现了年龄为4.4万的有缺口的骨头，其中包括狒狒的腓骨，上面刻有29个痕迹。人类学家认为，这些痕迹表明，这块骨头类似原始人的“账目棒”，是用来辅助计数的。说明那个时候人类就已经学会有意识地用符号表达和操纵数目了。

公元前4千年左右，在底格里斯-幼发拉底河谷(现在伊拉克的一个地区)，出现了美索不达米亚文明。在这种文明中，计数和测量达到了新的高度。这同样跟文明的发展需要分不开。美索不达米亚人需要记录天文历法，丈量土地面积，衡量谷物收成，甚至记录重量。然后随着人类走向海洋，或者研究天空，我们开始发展导航和天文观测所需要的数学。甚至到了现代，商业的需要也仍在推动数学的发展。譬如，一些最复杂的数学正是为华尔街的股票和债券交易而开发的。

拓展阅读:动物有数学本能吗?

关于人类是否天生具有“数觉”的争论，让持肯定意见的人经常转向从动物方面寻求支持。如果我们的远亲能表现出一定的数学能力，那这就意味着我们自己对数的感觉也必定先于文化的发展。

一些动物个体被证明表现出非凡的数觉天赋。亚历克斯，一只经过训练的非洲灰鹦鹉，在80%的时间里能正确识别出2到6个物体的集合。Ai，日本灵长类动物学家训练出来的一只黑猩猩，能做同样的事情。

但也有人争辩说，这些动物并没有掌握数的象征意义。相反，它们只是在经过上千次的训练之后，能通过联想来学习数。这和我们训练动物去做它们在野外做不到的事情没什么不同。比如在自然状态下，让大象戴着滑稽帽子一条腿站在凳上是不可想象的，而经过训练再做这类事情，就没什么可稀奇的了。

但越来越多的证据表明，动物在自然状态下也能表现出接近“数觉”的能力。20世纪90年代早期，有观察证明，狮子能区分一头狮子和三头狮子的吼声。在2017年2月的一次会议上，研究人员还报告说，一些青蛙在择偶过程中，当听到与之竞争的青蛙的叫声时，会在叫声数量上与竞争者一争高低。

这些发现表明，动物确实有一种接近“数觉”的本能。换句话说，这种本能为人类和许多其他动物共同拥有。

下篇 数学的本质

“数学是大自然的语言”

目今，人类已经建立了一座巨大的数学金字塔。在过去5千年左右的时间里，数学已经扩张到更加抽象的领域，似乎进一步脱离了周围的现实世界和普通人的理解范围。

然而，我们对宇宙的秘密了解越多，数学上的新发明就越能描述这些秘密。例如，当大卫·希尔伯特发展了一种高度抽象的代数来处理无穷多个维度而不是熟悉的空间三维时，没有人能预见到这种代数能在量子力学中得到应用。但不久之后证明，希尔伯特的这套数学——即所谓的“希尔伯特空间”——是我们理解诡秘的量子世界的关键。

数学和物理之间这种普遍存在的联系，使我们想起几个世纪前伽利略说过的一句话“数学是大自然的语言”。对今天从事自然科学研究的人来说，数学几乎是一门必备的工具。甚至长期抵制数学的生物学，也在慢慢地屈服：人们已经见证了数学在基因组学或神经科学中的广泛应用。比如，DNA双螺旋结构的发现就与一个叫“傅里叶分析”的数学工具分不开。神经生物学则越来越依赖拓扑学、图论等数学学科。

数学自身取得的辉煌成就以及它在现实中无所不在的应用，让一些人产生一种“狂妄”的看法：数学是一切，一切皆数学;宇宙是一个数学结构，它只有数学性质。这种看法与古希腊毕达哥拉斯学派“一切皆数，数是万物的本源”的神秘思想遥相呼应。

数学是发现还是发明?

历史上，人们曾为“数学是发明还是发现?”发生过激烈的争论。按“数学是一切”的观点，数学显然是“发现”而不是“发明”，因为它早已存在那儿，我们所做的只是发现而已。

但事情也许没那么简单：当问及“数学是被发明的还是被发现的?”的时候，人们往往有一种先入为主的前提，好像两者是相互排斥的。如果你发明了它，你就不会是发现了它，如此等等。但这不是一个非此即彼的命题。

想想古希腊数学家欧几里德编纂的《几何原本》，它搜集了古希腊所有的数学知识，并编纂了一条条几何定律。欧几里德把他的工作建立在一系列公理之上。这些公理既不能证明，也不能证伪，我们只能说它们是“被发明的”。其中最著名的一条就是“平行线公理”：两条平行线永不相交。随着时间的推移，从这些公理中衍生出很多的规则和关系，并被后人证明为定理。从某种意义上说，他们是“发现”了欧几里德几何学的景观。

但是几千年后，有数学家另起炉灶，决定采用新公理去发现新的几何王国。这些新公理与欧几里得的公理是矛盾的。例如，因德国数学家黎曼而得名的黎曼几何，明确依赖于“平行线可以相交”这一思想。这个非正统的出发点把我们引向了一个广阔的数学世界，爱因斯坦用其来阐述他的广义相对论。

数学能否解释自己的起源?

但是，不管我们从哪一套公理出发，数学可能不像我们所以为的那样是一套完整的思想体系。对于这一点，我们要归功于奥地利逻辑学家哥德尔的不完备性定理所提供的洞见。哥德尔证明，在任何形式的公理和定理体系里，有一些既不能证明对，也不能证明错的陈述。换句话说，有些问题数学可以问，但它永远无法回答。像欧几里得几何中的“平行线永不相交”就是一例，欧几里得几何体系自身无法提供证明。我们只能说：“暂且假设它是对的，来看看会推出什么结果……”

在这种情况下，我们说数学是普遍真理，或许还为时尚早。因为真理嘛，对的就是对的，不能说“假设它是对的”(比如上帝存在就说存在，不存在就说不存在，不能说“假设他存在”)。再者，人类迄今所建立的数学体系，也许不过是“数学丛林”的一个小角落，谁敢保证它就代表了宇宙整体呢?

当前，能不能完全用数学来描述意识，是数学面临的一个非常大的挑战。我们知道，数学本身就是人类意识的产物，现在反过来要用它去解释意识，那就意味着要数学去解释自己的起源。它能胜任吗?如果能解释，也就算了;如果不能，那麻烦就大了。因为既然连“大自然的语言”数学都解释不了意识，那意识还能用什么来解释呢?或者反过来，迫使我们追问“难道数学真是大自然的语言吗?”